Методика расчёта трансформаторов

Расчет трансформатора проводится в три этапа:

1. Электромагнитный расчёт.
2. Конструктивный расчёт.
3. Тепловой расчёт.

При электромагнитном расчёте определяются: материал, конфигурация и размеры магнитопровода, число витков первичной и вторичной обмоток, марки и диаметры проводов, а также электрические параметры (ток холостого хода, габаритная мощность, КПД) трансформатора.

При конструктивном расчете определяется толщина обмоток трансформатора и проверяется, умещаются ли обмотки в окне выбранного маг-нитопровода. Для этого рассчитывается число витков провода с изоляцией в одном слое каждой обмотки и определяется число слоев в первичной и вторичной обмотках.

При тепловом (температурном) расчете определяется перегрев обмоток трансформатора, т. е. превышение температуры обмоток над температурой окружающей среды. Полученное значение температуры перегрева не должно превышать заданного допустимого значения.

Перед началом непосредственно расчёта трансформатора необходимо выбрать схему трансформатора. Она будет определяться функциональным назначением трансформатора. Например, выбранной схемой выпрямительного устройства, в состав которого входит трансформатор (однофазный мостовой выпрямитель).

Затем выбирают конструкцию магнитопровода трансформатора. Для трансформаторов малых мощностей (100 … 200 Вт), которые широко применяются в радиоэлектронной аппаратуре войсковой ПВО, и при напряжениях до 1000 В предпочтение отдают броневым сердечникам.

Далее переходят к определению исходных данных и непосредственно расчёту трансформатора.

Рассмотрим методику расчета трансформатора учитывающую частоту преобразуемого напряжения.

При расчете трансформатора заданными параметрами являются:

• напряжение питающей сети U₁, В;
• напряжения вторичных обмоток U₂, U₃, … U_n, В;
• токи вторичных обмоток I₂, I₃, … I_n, А;
• частота тока питающей сети f_c, Гц.

Кроме того, задаются:

• максимальное значение температуры окружающей среды Т_c, ⁰С;
• максимальный допустимый перегрев обмоток Δ Т_c, ^cС.

Алгоритм расчёта трансформатора следующий.

I. Электромагнитный расчет.

1.Определяют ток первичной обмотки

где составляющие тока первичной обмотки I_1(n), вызванные токами вторичных обмоток, при резистивной нагрузке определяются формулой:

где п – порядковый номер вторичной обмотки.

2. Определяют габаритную мощность трансформатора

3. Выбирают магнитопровод по габаритной мощности трансформатора, для чего можно использовать выражение

где S_ст – площадь поперечного сечения магнитопровода, см²; S_ок – площадь окна магнитопровода, см²; P_ТР – габаритная мощность трансформатора, Вт; f_с – частота тока питающей сети, Гц; B – индукция в стержне магнитопровода, Тл; j – плотность тока в проводах обмоток трансформатора, А/мм²; k_м – коэффициент заполнения медью окон магнитопровода; k_с – коэффициент заполнения сталью площади поперечного сечения стержня магнитопровода; a, b – геометрические размеры магнитопровода (ширина, высота); c, h – геометрические размеры окна (ширина, высота).

Для броневых и стержневых сердечников трансформаторов индукция в стержне магнитопровода составляет: для трансформаторов, выполненных на пластинчатых магнитопроводах из горячекатаной стали, 1,2-1,3 Тл; для трансформаторов, выполненных на ленточных сердечниках из холоднокатаной стали, 1,5-1,65 Тл.

Плотность тока в проводах обмоток трансформатора составляет: для трансформаторов мощностью до 100 Вт – 3,5-4,5 А/мм²; для трансформаторов мощностью 100-500 Вт – 2,5-3,5 А/мм².

Коэффициент заполнения медью окон магнитопровода выбирается из таблиц с учётом мощности трансформатора и рабочей частоты (таблица 1 и 2)

Таблица 1

Ртр, Вт (f = 50 Гц)	kм (f = 50 Гц)
15-50	0,28-0,34
50-150	0,22-0,28
150-300	0,34-0,36
300-1000	0,36-0,38

Таблица 2

Ртр, Вт (f = 400 Гц)	kм (f = 400 Гц)
15-50	0,23-0,29
50-150	0,18-0,23
150-300	0,29-0,31
300-1000	0,31-0,33

Коэффициенты заполнения сталью площади поперечного сечения стержня магнитопровода k_с для толщины листа (ленты) 0,35-0,5 мм составляют: для пластинчатых магнитопроводов 0,89-0,93; для ленточных 0,95-0,97.

Для толщины листа 0,2-0,35 мм для пластинчатых магнитопроводов k_с = 0,82-0, 89, для ленточных – 0,93-0,95.

Для определения КПД трансформатора используют график (рисунок 1).

Рисунок 1 - График для определения КПД

Определив S_ст· S_ок, выбирают типоразмер магнитопровода равный или больший, чем расчётное значение (таблица 3) и определяют размеры магнитопровода (рисунок 2).

Таблица 3

Типоразмер магнитопровода	a, мм	b, мм	h, мм	с, мм	C, мм	H, мм	Средняя длина магнитной силовой линии lс, см	SСТSОК,см4	Масса магнитопровода Gст, кг	SОК, см2
ШЛ 10Х10	10	10	25	10	40	35	8,5	2,5	0,057	2,5
ШЛ 10X12,5	10	12,5	25	10	40	35	8,5	3,12	0,071	2,5
ШЛ 10X16	10	16	25	10	40	35	8,5	4	0,091	2,5
ШЛ 10X20	10	20	25	10	40	35	8,5	5	0,113	2,5
ШЛ 12X12,5	12	12,5	30	12	48	42	10,2	5,4	0,1	3,6
ШЛ 12X16	12	16	30	12	48	42	10,2	6,9	0,13	3,6
ШЛ 12X20	12	20	30	12	48	42	10,2	8,65	0,165	3,6
ШЛ 12X25	12	25	30	12	48	42	10,2	10,8	0,205	3,6
ШЛ 16X25	16	25	40	16	64	56	13,6	25,6	0,37	6,4
ШЛ 16X32	16	32	40	16	64	56	13,6	32,6	0,47	6,4
ШЛ 20X20	20	20	50	20	80	70	17,1	40	0,46	10
ШЛ 20X25	20	25	50	20	80	70	17,1	50	0,575	10
ШЛ 20X32	20	32	50	20	80	70	17,1	64	0,735	10
ШЛ 20X40	20	40	50	20	80	70	17,1	80	0,92	10
ШЛ 25X25	25	25	62,5	25	100	87,5	21,3	98	0,9	16
ШЛ 25X32	25	32	62,5	25	100	87,5	21,3	125	1,15	16
ШЛ 25X40	25	40	62,5	25	100	87,5	21,3	156	1,44	16
ШЛ 25X50	25	50	62,5	25	100	87,7	21,3	195	1,8	16

Рисунок 2 - Ленточные магнитопроводы типа ШЛ с обозначением размеров

4. Определяют число витков обмоток трансформатора:

По графику (рисунок 3) определяют падение напряжения.

Рисунок 3 - График для определения падения напряжения на трансформаторе

5. Определяют диаметр проводов обмоток трансформатора (без учета толщины изоляции)

Выбирают марку провода и определяют диаметры проводов обмоток трансформатора с учетом толщины изоляции d_1из, d_2из,…,d_nиз. Для маломощных низковольтных трансформаторов обмотки выбираются из проводов с эмалевой изоляцией (табл. 4).

Таблица 4. Максимальный наружный диаметр (сечение) намоточных проводов (в мм)

Номинальный диаметр провода без изоляции, мм	Расчетное сечение, мм2	Масса 1 м медного провода, г	ПЭВ-1, ПЭВТЛ-1, ПНЭТ, ИМИД	ПЭВ-2, ПЭТВ, ПЭВТЛ	ПБД	ПСЛ, ПСЛК	ПЭЛШО, ПЭЛШКО
0,08	0,00503	0,0447	0,105	0,11	-	-	0,17
0,09	0,00636	0,05651	0,115	0,12	-	-	0,18
0,1	0,00785	0,0698	0,125	0,13	-	-	0,19
0,11	0,0095	0,0845	0,135	0,14	-	-	0,2
0,12	0,01131	0,101	0,145	0,15	-	-	0,21
0,13	0,01327	0,118	0,155	0,16	-	-	0,22
0,14	0,01539	0,137	0,165	0,17	-	-	0,23
0,15	0,01767	0,157	0,18	0,19	-	-	0,24
0,16	0,02011	0,179	0,19	0,2	-	-	0,25
0,17	0,0227	0,202	0,2	0,21	-	-	0,26
0,18	0,02545	0,226	0,21	0,22	-	-	0,27
0,19	0,02835	0,252	0,22	0,23	-	-	0,28
0,20	0,03142	0,279	0,23	0,24	-	-	0,3
0,21	0,03464	0,308	0,24	0,25	-	-	0,31
0,23	0,04115	0,369	0,27	0,28	-	-	0,33
0,25	0,04909	0,436	0,29	0,3	-	-	0,35
0,27	0,05726	0,509	0,31	0,32	-	-	0,39
0,29	0,06605	0,587	0,33	0,34	-	-	0,41
0,31	0,07548	0,671	0,35	0,36	-	0,55	0,43
0,33	0,08553	0,76	0,37	0,38	-	0,57	0,45
0,35	0,09621	0,855	0,39	0,41	-	0,59	0,47
0,38	0,1134	1,01	0,42	0,44	0,61	0,62	0,5
0,41	0,132	1,11	0,45	0,47	0,64	0,65	0,53
0,44	0,1521	1,35	0,48	0,5	0,67	0,68	0,57
0,47	0,1735	1,54	0,51	0,53	0,7	0,71	0,6
0,49	0,1886	1,68	0,53	0,55	0,72	0,73	0,62
0,51	0,2043	1,82	0,56	0,58	0,74	0,77	0,64
0,53	0,2206	1,96	0,58	0,6	0,76	0,79	0,66
0,55	0,2376	2,11	0,6	0,62	0,78	0,81	0,68
0,57	0,2552	2,27	0,62	0,64	0,8	0,83	0,7
0,59	0,2734	2,43	0,64	0,66	0,82	0,85	0,72
0,62	0,3019	2,68	0,67	0,69	0,85	0,88	0,75
0,64	0,3217	2,86	0,69	0,72	0,87	0,9	0,77
0,67	0,3526	3,13	0,72	0,75	0,9	0,93	0,8
0,69	0,3739	3,32	0,74	0,77	0,92	0,95	0,82
0,72	0,4072	3,6	0,77	0,8	0,96	0,99	0,87
0,74	0,4301	3,82	0,8	0,83	0,98	1,01	0,89
0,77	0,4657	4,14	0,83	0,88	1,01	1,04	0,92
0,8	0,5027	4,47	0,86	0,89	1,04	1,07	0,95
0,83	0,5411	4,81	0,89	0,92	1,07	1,1	0,98
0,86	0,5809	5,16	0,92	0,95	1,1	1,13	1,01
0,9	0,6362	5,66	0,96	0,99	1,14	1,17	1,05
0,93	0,6793	6,04	0,99	1,02	1,17	1,2	1,08
0,96	0,7238	6,44	1,02	1,05	1,2	1,23	1,11
1,0	0,7854	6,98	1,08	1,11	1,26	1,29	1,16
1,04	0,8495	7,55	1,12	1,15	1,3	1,33	1,2
1,08	0,9161	8,14	1,16	1,19	1,34	1,37	1,24
1,12	0,9852	8,76	1,2	1,23	1,38	1,41	1,28
1,16	1,0568	9,4	1,24	1,27	1,42	1,45	1,32
1,2	1,131	10,1	1,28	1,31	1,46	1,49	1,36
1,25	1,2272	10,9	1,33	1,36	1,51	1,54	1,41
1,3	1,327	11,8	1,38	1,41	1,56	1,59	1,46
1,35	1,4314	12,7	1,43	1,46	1,61	1,64	1,51
1,4	1,5394	13,7	1,48	1,51	1,66	1,69	1,56

II. Конструктивный расчет

1.Определяют ток первичной обмотки

Конструкторский расчёт сводится к определению толщины обмоток трансформатора и проверке их вмещения в окно выбранного магнитопровода и включает в себя следующие этапы.

1. Рассчитывают число витков в одном слое каждой обмотки (W_сл1 и W_сл2).

W_сл1 = h × k_y1/d_из1,

где h – высота слоя намотки обмотки (например, для ШЛ 16Х25 h = 40 мм); k_y – коэффициент укладки провода (выбирается по справочнику в зависимости от d: k_y1 = k_y2 = 0,9); d_из – диаметр провода с изоляцией.

2. Находят число слоёв первичной и вторичной обмоток (n_сл1 и n_сл2):

n_сл1 = W₁/W_сл1.

3. Определяют толщину обмоток трансформатора Н_сл1 и Н_сл2 и проверяют, помещаются ли они в окне выбранного магнитопровода:

Н_сл1 = d_1из × n_сл1[мм].

III. Тепловой расчёт трансформатора

При тепловом (температурном) расчёте определяется перегрев обмоток трансформатора ΔТ, ^oС, т. е. превышение температуры обмоток над температурой окружающей среды. Полученное значение температуры перегрева не должно превышать заданного допустимого значения ΔТ_c, ^oС. Тепловой расчёт выполняется поэтапно.

1. Определяют перегрев обмоток трансформатора

ΔТ = (Р_ст + Р_м1 + Р_м2)/α_м × S_охл;

Р_ст = p_уд.ст. × G_ст[Вт];

p_уд.ст. = 2,5 [Вт/кг], при f = 50 Гц;

Р_м1 = I₁² × r₁;

Р_м2 = I₂² × r₂;

r₁ = ρ_м × l₁ × w₁/q₁;

ρ_м = 2,34 × 10^-8 [Ом/м];

α_м = 11^-13 Вт/м²,

где G_ст – масса магнитопровода; r₁ – активное сопротивление первичной обмотки; ρ_м – удельное сопротивление меди при t = 105 ^oС; l₁ – средняя длина витка провода [м]; q₁ – поперечное сечение провода; α_м – коэффициент металоотдачи; S_охл – площадь охлаждения трансформатора.

S_охл = S_охл.м + S_охл.ст [м²],

где S_охл.м – площадь охлаждения обмоток (меди) трансформатора; S_охл.ст – площадь охлаждения магнитопровода (стали) трансформатора.

Если ΔТ < ΔТ_с, то нагрев обмоток в допуске.

2. Определяют рабочую температуру трансформатора

Т_раб = Т_с + ΔТ.

В некоторых случаях, например, для расчета трансформаторов питания в сетях, работающих на частоте 50 Гц, рассмотренный выше этап электромагнитного расчёта заменяют упрощённым электромагнитным расчётом. Упрощённый расчёт не учитывает частоту преобразуемого напряжения и использует эмпирические выражения. На рисунке 4 показан броневой сердечник трансформатора, изготовленный из Ш-образных пластин.

Рисунок 4 - Броневой сердечник, изготовленный из Ш-образных пластин

Рассмотрим последовательность упрощённого расчёта для трансформатора, сердечник которого показан на рисунке 4.

1. Определяют площадь сечения магнитопровода

S_сеч = a × b [см²].

2. Рассчитывают мощность трансформатора

Р = S²_сеч [В·А].

3. Определяют число витков на 1 В

W/B = 50 – 70/S_сеч.

4. Определяют число витков первичной обмотки

W₁ = W/B × U₁ .

5. Определяют число витков вторичной обмотки

W² = 1,2 × W/B × U².

6. Рассчитывают диаметр провода без изоляции

d² = 0,7 × √I² [мм].

7. Рассчитывают силу тока в первичной обмотке

I¹ = I² × К^тр [A].

8. Определяют диаметр провода без изоляции

d¹ = 0,7 × √I¹ [мм].

После упрощённого электромагнитного расчёта трансформатора вы-полняют его конструктивный и тепловой расчёт по методике, изложенной выше.