Введение
Уравнение Ричардсона-Дэшмана — это фундаментальный закон, который количественно описывает явление термоэлектронной эмиссии, то есть испускание электронов нагретым металлом.
Это уравнение является основой для расчета и проектирования катодов практически всех вакуумных электронных приборов.
Формулировка уравнения
Плотность тока насыщения \(J\) (то есть максимального тока эмиссии с единицы площади поверхности катода), описывается следующей формулой:
где:
- \(J\) — плотность тока эмиссии \(А/м^2\) или \(А/см^2\). Важно следить за размерностью постоянной \(A\).
- \(A\) — термоэлектронная постоянная (или постоянная Ричардсона) \(А/(м^2 \cdot К^2)\) или \(А/(см^2 \cdot К^2)\). Это теоретическая константа, зависящая от материала.
- \(T\) — абсолютная температура катода \(К\) (Кельвин).
- \(W\) — работа выхода материала \(Дж\).
- \(k\) — постоянная Больцмана (\(k = 1.38 \times 10^{-23}\) Дж/К).
- \(e\) — основание натурального логарифма.
Часто работу выхода \(W\) выражают не в джоулях, а в электрон-вольтах (эВ). Учитывая, что \(1\,эВ = 1.602 \times 10^{-19}\) Дж, уравнение принимает более удобный вид:
где:
- \(\varphi\) — работа выхода \(эВ\).
- \(e\) — заряд электрона (\(e = 1.602 \times 10^{-19}\) Кл). В показателе экспоненты \(e\varphi\) — это произведение заряда электрона на работу выхода в эВ, что и дает энергию в джоулях.
Физический смысл уравнения
Уравнение имеет глубокий физический смысл, и каждая его часть объясняет ключевой аспект процесса:
\(T^2\) (Квадрат температуры)
Эта составляющая отражает тот факт, что количество электронов в металле, способных преодолеть потенциальный барьер, пропорционально квадрату температуры. Это следует из статистики Ферми-Дирака для электронов в металле.
\(e^{-\frac{W}{kT}}\) (Экспоненциальный множитель)
Это барьерный множитель Больцмана. Он показывает вероятность того, что электрон обладает энергией, достаточной для преодоления потенциального барьера (работы выхода \(W\)).
- Именно эта экспоненциальная зависимость делает работу выхода (\(\varphi\)) доминирующим параметром. Небольшое уменьшение работы выхода приводит к колоссальному увеличению тока эмиссии.
- Эта же зависимость объясняет сильное влияние температуры (\(T\)).
- Экспонента "перевешивает" предэкспоненциальный член \(T^2\), поэтому в целом рост температуры всегда приводит к резкому увеличению эмиссии.
Постоянная Ричардсона (\(A\))
Теоретическое значение постоянной \(A\) универсально для всех металлов и выводится из модели свободных электронов:
где:
- \(m\) — масса электрона,
- \(e\) — заряд электрона,
- \(k\) — постоянная Больцмана,
- \(h\) — постоянная Планка.
Однако на практике экспериментально измеренные значения \(A_{эксп}\) для реальных материалов сильно отличаются от теоретического (например, для вольфрама ~60-75, а для оксидных катодов может быть всего ~0.01). Это связано с упрощениями модели:
- Не все электроны в металле являются "свободными".
- Работа выхода сильно зависит от кристаллографической ориентации грани, чистоты поверхности, наличия адсорбированных атомов и т.д.
Поэтому на практике постоянную \(A\) и работу выхода \(\varphi\) находят совместно, подбирая их такими, чтобы экспериментальные данные совпадали с уравнением.
Практическое значение и пример
Задача: Сравнить плотность тока эмиссии для вольфрамового (\(\varphi \approx 4.55\) эВ) и оксидного (\(\varphi \approx 1.5\) эВ) катодов при температуре \(T = 1000\) К. Примем \(A \approx 120\) А/(см²·К²) для обоих для упрощения.
Расчет для вольфрама:
Это ничтожно малая величина.
Расчет для оксидного катода:
Это уже очень существенная величина.
Вывод: Даже при более низкой температуре оксидный катод, имеющий малую работу выхода, обеспечивает на десятки порядков большую эмиссию, чем тугоплавкий вольфрам. Именно поэтому в большинстве электронных ламп используются активированные катоды с низкой работой выхода.
Заключение
Таким образом, уравнение Ричардсона-Дэшмана не просто формула, а ключ к пониманию и оптимизации работы всех вакуумных приборов.
