Введение
Математические модели, лежащие в основе работы электровакуумных ламп, описывают физические процессы, происходящие внутри них. В этом документе представлены ключевые модели для основных типов ламп.
1. Термоэлектронная эмиссия (основа для всех ламп)
Это процесс испускания электронов с поверхности нагретого катода. Плотность тока накала (ток эмиссии) описывается уравнением Ричардсона-Дэшмана:
где:
- \(J\) — плотность тока эмиссии \([А/м^2]\),
- \(A\) — постоянная Ричардсона (зависит от материала катода; для вольфрама ~60–100 \(А/(м^2 \cdot К^2)\), для оксидных катодов ~1–10 \(А/(м^2 \cdot К^2)\)),
- \(T\) — абсолютная температура катода \([K]\),
- \(e\) — заряд электрона (\(1.6 \cdot 10^{-19}\) Кл),
- \(\phi\) — работа выхода материала катода \([эВ]\),
- \(k\) — постоянная Больцмана (\(1.38 \cdot 10^{-23}\) Дж/К).
2. Диод (двухэлектродная лампа)
Модель описывает ток между катодом и анодом в вакууме.
а) Режим объёмного заряда (наиболее важный режим работы)
При положительном напряжении на аноде \(U_a\) эмитированные электроны преодолевают пространственный отрицательный заряд (облако электронов) и достигают анода. Ток анода \(I_a\) описывается законом степени трёх вторых (уравнением Ленгмюра-Богуславского или Чайлда-Ленгмюра):
где:
- \(I_a\) — анодный ток \([А]\),
- \(U_a\) — анодное напряжение \([В]\),
- \(G\) — первеанс (коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии электродов) \([А/В^{3/2}]\).
Для плоскопараллельных электродов: \(G = \frac{4 \epsilon_0}{9} \cdot \frac{S}{d^2} \cdot \sqrt{\frac{2e}{m_e}}\), где \(S\) — площадь анода, \(d\) — расстояние между катодом и анодом, \(m_e\) — масса электрона, \(\epsilon_0\) — электрическая постоянная.
Для коаксиальных цилиндров (катод внутри анода) первеанс вычисляется сложнее.
б) Режим насыщения
Если анодное напряжение достаточно велико, чтобы "вытянуть" все эмитированные электроны, ток достигает максимума и перестаёт зависеть от напряжения. Он определяется исключительно термоэлектронной эмиссией с катода:
где \(S_k\) — площадь поверхности катода.
3. Триод (трехэлектродная лампа)
Модель описывает управление анодным током с помощью сетки.
а) Уравнение тока триода
Анодный ток \(I_a\) зависит от напряжений на обоих электродах. Это описывается уравнением Вудбриджа:
где:
- \(I_a\) — анодный ток \([А]\),
- \(U_g\) — напряжение на управляющей сетке \([В]\),
- \(U_a\) — напряжение на аноде \([В]\),
- \(\mu\) — статический коэффициент усиления (показывает, во сколько раз сетка эффективнее анода управляет током; безразмерная величина),
- \(K\) — постоянная лампы (аналог первеанса, зависит от геометрии электродов) \([А/В^{3/2}]\).
б) Параметры триода
Через первую производную этого уравнения определяются ключевые малосигнальные параметры:
- Крутизна характеристики (\(S\)): \(S = g_m = \frac{\partial I_a}{\partial U_g} \Big|_{U_a = const}\)
- Внутреннее сопротивление (\(R_i\)): \(R_i = \frac{\partial U_a}{\partial I_a} \Big|_{U_g = const}\)
- Статический коэффициент усиления (\(\mu\)): \(\mu = -\frac{\partial U_a}{\partial U_g} \Big|_{I_a = const}\)
Между этими параметрами существует фундаментальная связь, описываемая уравнением триода:
4. Тетрод и Пентод (многоэлектродные лампы)
Модели усложняются добавлением экранирующей сетки и антидинатронной сетки.
Основное уравнение для пентода (в режиме, когда ток экранирующей сетки \(I_{g2}\) мал по сравнению с анодным):
Здесь управляющим напряжением является в основном \(U_{g1}\), а анодное напряжение \(U_a\) слабо влияет на анодный ток благодаря экранирующему действию второй сетки (\(g2\)). Это приводит к очень высокому внутреннему сопротивлению (\(R_i\)).
5. Динатронный эффект
Важная модель вторичной электронной эмиссии. Если электрон, ускоренный полем, ударяет в анод с достаточной энергией, он может выбить несколько вторичных электронов. Параметр — коэффициент вторичной эмиссии \(\sigma\):
где \(I_{первичн}\) — ток первичных электронов, \(I_{вторичн}\) — ток вторичных электронов. Если \(\sigma > 1\), возникает отрицательное сопротивление на ВАХ тетрода, что является паразитным эффектом. Для борьбы с ним и был разработан пентод.
Краткий итог
Эти модели являются упрощёнными и описывают статические режимы. Для расчёта динамических и высокочастотных характеристик используются более сложные модели, учитывающие межэлектродные ёмкости, индуктивности выводов и время пролёта электронов.
