Математические модели полупроводникового диода

Иерархия от простых представлений до сложных физических моделей

Математические модели полупроводникового диода образуют иерархию от простых идеализированных представлений до сложных физических моделей, используемых в компьютерном моделировании.

Рассмотрим эти модели по возрастанию сложности.

1. Идеальный диод (модель для ручного расчета)

Самая простая модель, которая описывает диод как ключ.

• Прямое смещение (\(U > 0\)): Диод представляет собой идеальный проводник (короткое замыкание). Падение напряжения равно 0 В, ток ограничен только внешней цепью.
• Обратное смещение (\(U < 0\)): Диод представляет собой идеальный изолятор (разрыв цепи). Ток равен 0 А.

Уравнение не аналитическое, поведение описывается логически.
Используется для очень грубого, предварительного анализа цепей, где точное падение напряжения на диоде несущественно.

2. Модель с фиксированным пороговым напряжением (кусочно-линейная модель)

Наиболее популярная модель для ручного анализа схем.

• Прямое смещение (\(U > U_\gamma\)): Диод представляет собой источник напряжения (\(U_\gamma\)) последовательно с сопротивлением (\(r_d\)).
• Обратное смещение (\(U < U_\gamma\)): Диод представляет собой разрыв цепи.

где

• \(U_\gamma\) — пороговое напряжение ("напряжение включения"). Для кремниевых диодов обычно ~0.6-0.7 В, для германиевых — ~0.3 В, для диодов Шоттки — ~0.2 В.
• \(r_d\) — динамическое (дифференциальное) сопротивление открытого диода (обычно мало).

График ВАХ - ломаная линия.
Используется для большинства инженерных расчетов напряжений и токов в цепях с диодами. Удобна и достаточно точна.

3. Модель Шокли (уравнение диода)

Эта модель фундаментально описывает физику p-n перехода на основе законов полупроводниковой теории. Это экспоненциальная модель.

где

• \(I_D\) — ток через диод.
• \(I_S\) — ток насыщения (обратный ток утечки). Очень маленькая величина (например, \(10^{-12} - 10^{-15}\) А), сильно зависит от температуры.
• \(U_D\) — напряжение на диоде.
• \(U_T\) — температурный потенциал (\(U_T = \frac{k \cdot T}{q}\)). При \(T=300K\) (комнатная температура) \(U_T \approx 26\) мВ.
  • \(k\) — постоянная Больцмана (\(1.38 \cdot 10^{-23}\) Дж/К)
  • \(T\) — абсолютная температура в Кельвинах
  • \(q\) — заряд электрона (\(1.6 \cdot 10^{-19}\) Кл)
• \(n\) — коэффициент неидеальности (или эмиссионный коэффициент). Лежит в диапазоне от 1 до 2. Для идеального диода \(n=1\).

Особенности модели:

• Прямое смещение: При \(U_D > 0.1\) В единицей в уравнении можно пренебречь, и оно принимает вид \(I_D \approx I_S \cdot \exp\left( \frac{U_D}{n \cdot U_T} \right)\). Ток растет экспоненциально от напряжения.
• Обратное смещение: При \(U_D < 0\) экспонента стремится к нулю, и уравнение принимает вид \(I_D \approx -I_S\). Ток постоянен и очень мал (равен току насыщения).

Используется для точного математического анализа, где важна экспоненциальная зависимость. Легла в основу моделей для SPICE.

4. Модель для SPICE-симуляции (расширенная модель Шокли)

В симуляторах схем (LTspice, PSPICE и др.) используется расширенная версия модели Шокли, которая учитывает паразитные элементы и второстепенные эффекты.

Дополнительные элементы и эффекты:

1. Последовательное сопротивление (\(R_S\)):
   Обусловлено сопротивлением полупроводникового материала и контактов. Становится значимым при больших прямых токах, ограничивая экспоненциальный рост.
   
   \(I_D = I_S \cdot \left[ \exp\left( \frac{U_D - I_D \cdot R_S}{n \cdot U_T} \right) - 1 \right]\)
   (уравнение становится неявным).
2. Емкость перехода:
   • Барьерная емкость (\(C_{j0}\), \(U_J\), \(M\)): Обусловлена зарядом в обедненной области. Зависит от приложенного обратного напряжения.
     
     \(C_J(U) = \frac{C_{J0}}{(1 - U_D / U_J)^M}\)
     • \(C_{J0}\) — емкость при нулевом смещении.
     • \(U_J\) — потенциал перехода.
     • \(M\) — градиентный коэффициент.
   • Диффузионная емкость (\(TT\) — время пролета): Обусловлена накоплением неосновных носителей заряда при прямом смещении. Проявляется на высоких частотах и определяет быстродействие диода.
3. Пробой (\(BU\), \(IBU\)):
   При достижении определенного обратного напряжения (\(BU\) — напряжение пробоя) происходит лавинный или зенеровский пробой. Ток резко возрастает. Модель аппроксимирует это явление.
4. Температурные зависимости:
   Параметры \(I_S\), \(U_T\) и другие зависят от температуры, что критически важно для термостабильности схем.

Пример модели диода в SPICE:
.model MyDiode D(Is=1e-14 Rs=0.1 Cjo=0.5pF M=0.33 Uj=0.7 BU=100 Ibv=1e-10 Tt=1e-9)

Используется для любого точного компьютерного моделирования, где важно учесть динамическое поведение, емкости, температуру и другие неидеальности.

Сводная таблица моделей

Вывод

Выбор модели, как всегда, зависит от задачи. Для понимания логики работы схемы хватит идеальной или кусочно-линейной модели. Для расчета режима по постоянному току часто достаточно модели Шокли. Для проектирования реальных устройств (импульсные блоки питания, ВЧ-схемы) необходима полная SPICE-модель.

Модели для математического и SPICE-моделирования

Модели для математического и SPICE-моделирования (например, в LTspice, NGspice, PSpice, Micro-Cap) — это не названия корпусов, а абстрактные математические описания поведения компонента. Их можно разделить на несколько уровней.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры модели
I_s = 1e-12  # Ток насыщения [A]
n = 1.7      # Коэффициент неидеальности
U_T = 0.026  # Тепловой потенциал [U] (при 300K)

# Создаем массив напряжений
U = np.linspace(-1, 0.8, 1000)  # от -1 В до 0.8 В

# Рассчитываем ток по уравнению Шокли
I = I_s * (np.exp(U / (n * U_T)) - 1)

# Строим ВАХ
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(U, I * 1000)  # Ток в миллиамперах
plt.title('Вольт-амперная характеристика диода')
plt.xlabel('Напряжение, U [В]')
plt.ylabel('Ток, I [мА]')
plt.grid(True)
plt.ylim(-0.1, 10)  # Ограничиваем вид по току
plt.xlim(-0.5, 0.8) # Ограничиваем вид по напряжению
plt.show()

Итог

1. Для быстрого анализа принципа работы схемы используйте встроенные идеализированные модели в вашем SPICE-симуляторе.
2. Для точного анализа конкретной схемы с реальными компонентами ищите и используйте SPICE-модели от производителя.
3. Для научных исследований, глубокого анализа и создания собственных моделей используйте уравнения в средах типа MATLAB, Mathcad или Python, где вы можете полностью контролировать все параметры модели.

Все три подхода дополняют друг друга и используются на разных этапах проектирования.